Duas equipes de matemáticos, utilizando supercomputadores, finalmente determinaram o valor de um número complexo anteriormente considerado “aparentemente impossível” de calcular.
Esse número, conhecido como “nono número de Dedekind” ou D(9), é na verdade o décimo de uma sequência. Cada número de Dedekind representa o número de configurações possíveis de um certo tipo de operação lógica verdadeiro-falso em diferentes dimensões espaciais. O primeiro número da sequência é D(0), que representa zero dimensões, e D(9), que representa nove dimensões, é o décimo número da sequência. Esses números aumentam exponencialmente a cada nova dimensão, tornando-se cada vez mais difíceis de calcular.
O oitavo número de Dedekind, seguindo as mesmas regras para oito dimensões, foi calculado em 1991. Porém, devido ao salto na capacidade computacional necessária para calcular o nono número, alguns matemáticos consideraram impossível determinar seu valor exato.
O impossível tornou-se realidade. Dois estudos independentes de grupos de pesquisa diferentes — o primeiro enviado ao servidor de pré-impressão arXiv em 5 de abril e o segundo em 6 de abril — conseguiram esse feito. Cada estudo, utilizando supercomputadores e executando programas diferentes, chegou ao mesmo resultado.
Embora os resultados ainda não tenham sido revisados por pares, a concordância entre os estudos indica que o número foi corretamente decifrado, segundo Lennart Van Hirtum, matemático da Universidade de Paderborn, Alemanha. Van Hirtum e seus colegas apresentaram seu trabalho em uma palestra na Universidade de Paderborn em 27 de junho.
Os números de Dedekind foram descritos pela primeira vez pelo matemático alemão Richard Dedekind no século XIX, relacionados a problemas lógicos conhecidos como “funções booleanas monotônicas”. As funções booleanas são um tipo de lógica com entradas e saídas de valores binários (0 ou 1). Nas funções booleanas monotônicas, é possível trocar um 0 por um 1 na entrada apenas se isso permitir que a saída mude de 0 para 1, não de 1 para 0. Os números de Dedekind são a saída dessas funções em dimensões espaciais específicas.
Visualizar o conceito pode ser desafiador, mas Van Hirtum explicou que é possível usar formas para representar os números de Dedekind em cada dimensão. Por exemplo, na segunda dimensão, o número de Dedekind está relacionado a um quadrado, enquanto na terceira, a um cubo. À medida que o número de dimensões aumenta, a forma hipotética se torna um hipercubo cada vez mais complexo.
Os valores dos próximos cinco números de Dedekind são 68, 7581, 7828354, 2414682040998 e 56130437228687557907788. O valor recém-identificado para D(9) é 286386577668298411128469151667598498812366.
A conquista de calcular o nono número de Dedekind é uma prova do avanço impressionante na capacidade computacional. Cada número de Dedekind representa o número de configurações possíveis de operações lógicas verdadeiro-falso em diferentes dimensões espaciais. Com cada dimensão adicional, o número de configurações possíveis aumenta exponencialmente, tornando o cálculo de números de Dedekind cada vez mais complexo e desafiador.
O processo de cálculo dos números de Dedekind envolve funções booleanas monotônicas, que são um tipo de lógica com entradas e saídas binárias. Nessas funções, a troca de um valor de 0 para 1 na entrada só é permitida se resultar em uma mudança de 0 para 1 na saída, nunca o contrário. Os números de Dedekind representam as saídas dessas funções em dimensões específicas.
Para visualizar o conceito, imagine formas geométricas representando diferentes dimensões: na segunda dimensão, um quadrado; na terceira, um cubo; e assim por diante. Cada vértice dessas formas representa uma possível configuração das funções booleanas. Para encontrar o número de Dedekind, é preciso contar quantas vezes é possível colorir cada vértice com duas cores diferentes (vermelho e branco), respeitando a regra de que uma cor (branco) não pode estar acima da outra (vermelho).
No caso de D(0), a forma é apenas um ponto, resultando em duas configurações possíveis: vermelho ou branco. Para D(1), a forma é uma linha com dois pontos, resultando em três configurações possíveis. Para D(2), a forma é um quadrado, com seis configurações possíveis. E para D(3), a forma é um cubo, com 20 configurações possíveis. À medida que o número de dimensões aumenta, a forma se torna um hipercubo cada vez mais complexo, com um número exponencialmente maior de resultados.
A identificação do valor exato de D(9) é uma conquista significativa na matemática e na ciência da computação, demonstrando a capacidade de supercomputadores modernos em resolver problemas anteriormente considerados impossíveis. Essa descoberta não apenas expande nosso conhecimento sobre os números de Dedekind, mas também abre caminho para novas pesquisas e avanços em lógica matemática e computacional.
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